O inventariante pode mexer na conta do falecido?

Sim, depois de nomeado. Ele pode obter informações e, com autorização judicial ou poderes na escritura, movimentar os valores do espólio. Nunca pode usá-los em proveito próprio.

Com a morte, as contas ficam bloqueadas para movimentação comum. O inventariante é quem representa o espólio (CPC, art. 618, I) e, por isso, pode:

Obter informações sobre contas, aplicações e saldos, apresentando o termo de compromisso (Justiça) ou a escritura em que foi nomeado.
Movimentar valores apenas para finalidades do espólio. Na Justiça, dependem de autorização do juiz, ouvidos os interessados, atos como alienar bens e pagar dívidas (CPC, art. 619). No cartório, a Resolução CNJ 35/2007 exige que a escritura nomeie um interessado com poderes de inventariante para cumprir obrigações pendentes (art. 11).
Receber a partilha: a escritura pública de inventário é documento hábil para o levantamento de valores depositados em instituições financeiras (CPC, art. 610, § 1º).

O dinheiro não é do inventariante. Ele deve prestar contas (CPC, art. 618, VII) e pode ser removido se agir mal (art. 622).

Valores pequenos como FGTS, PIS e restituições podem ser pagos aos dependentes por alvará, sem inventário (Lei 6.858/1980).

O inventariante pode mexer na conta do falecido?

Cada família tem uma situação diferente.